Sonsuzluq > Sonsuzluq?!

Sonsuzluq dedikdə ağlımıza ilk nə gəlir? Sonsuz həyat, sonsuz kainat, hətta bəzən daha bədii, sonsuz məhəbbət… Bu məqalədə sonsuzluq məsələsinə riyazi tərəfdən baxacağıq. Çünki yuxarıda sadaladığım sonsuzluq nümunələri insan beyninin və istifadə etdiyi simvolik dillərin təbiətlə qarşılıqlı münasibətdə ortaya çıxardığı məhsullardır. Riyaziyyatı da bir növ dil kimi qəbul etmək olar; o dil hansı ki, kainatdakı həqiqətlərin məntiqi ardıcıllıqla təsvir olunmasında və bu təsvirlərin öz obyektiv dəyərini itirmədən digər beyinlərə ötürülməsində istifadə olunur. Başqa sözlə riyaziyyat məntiqi mühakimələrimizi təsvir etməyə çalışan bir dildir və bu işdə kifayət qədər uğurlu olduğu deyilə bilər. Kainatdakı həqiqət dedikdə mütləq bir həqiqəti nəzərdə tutmuram; bizim nələrə həqiqət, nələrə uydurma deməyimiz, təbiətlə əlaqə repertuarımızdan birbaşa asılıdır. Başqa sözlə, həqiqət dediyimiz şey əslində empirik bir nəticədir. Yəni, beynimizdən filter olunmuş təcrübələrimizə əsaslanaraq, o təcrübələrimizi təsdiq edən, riyazi olaraq təsvir etdiyimiz və məntiqi olaraq əsaslandırmağa çalışdığımız əqli modellərə həqiqət deyirik. Düzdür, bu empirik təbiətli həqiqətin mütləq həqiqətə nə qədər yaxın və ya uzaq olması bizi mövzudan xeyli uzaqlaşdıra bilər, ona görə çox da uzağa getməmiş sonsuzluq mövzusuna qayıdaq. Bu yazıda sonsuzluğun ölçüsü haqqında danışacağıq və bəzi sonsuzluqların digərlərindən böyük olması nəticəsinə riyaziyyatçı George Cantorun necə gəldiyinə baxacağıq. Sonlu çoxluğun ölçüsünü təyin etmək asandır: ölçü, çoxluqda olan elementlərin sayına bərabərdir. Lakin, eynisini sonsuz çoxluq üçün etmək, necə deyərlər, qəlizdir. İlk baxışdan deyə bilərik ki, sonsuz bir çoxluq üçün ölçüdən danışmaq mənasızdır, çünki, ölçü məfhumu müəyyən bir sərhəd ima edir. İkinci baxışdan bu fikir çox ağlabatan görünür, yəni, sonsuzluq onsuz da ölçüsüzlük deməkdir. Üçüncü baxış isə məsələni daha da maraqlı edir. Üçüncü baxışdan deyə bilərik ki, əgər George Cantor haqqında danışacağım riyazi nəzəriyyəsində bəzi sonsuz çoxluqların digər sonsuz çoxluqlardan böyük olduğunu göstərirsəç onda bu ölçü məsələsi necə həll olunacaq? Sonsuzluğun ölçüsü yoxdur demək və bir sonsuzluğun əslində digərindən böyük olması nəticəsinə gəlmək, ortaya maraqlı suallar çıxarır. Buna görə də,yazıda sonsuzluğun ölçüsü dedikdə,daha abstrakt ölçüyə istinad edəcəyik. Bu abstrakt ölçünün təbiəti bizə qaranlıq qalsa da iki sonsuzluğun müqayisəsi bizə bu qaranlıq təbiətə azacıq işıq tutmağa yardım edəcək.

Alman riyaziyyatçısı və çoxluq nəzəriyyəsinin (ing. set theory) banisi George Cantor [Djorj Kantor] sonsuzluq anlayışı ilə bağlı bəlkə də riyaziyyatda ən sadə, amma böyük elmi-fəlsəfi suallara və digər önəmli nəzəriyyələrə yol açan bir işin müəllifidir. Hətta, George Cantorun daha sonra əqli problemlər yaşamasını məhz onun nəzəriyyələri ilə əlaqələndirənlər də az deyil. Lakin, bu şayiələrin əsaslı olduğuna inanmaq çətindir. Haqqında danışdığım bu kiçik nəzəriyyəyə keçməzdən əvvəl Cantor və onun bəzi ideyaları ilə tanış olaq. George Cantor iki cür sonsuzluq olduğu fikrini irəli sürdü. Bunlardan birincisi sayıla bilən, digəri isə sayıla bilməyən sonsuzluq idi. Başqa sözlə, Cantora qədər bütün növ sonsuzluqların eyni ölçüyə malik olduğu düşünülürdü. Lakin, Cantor göstərdi ki, bəzi sonsuzluqlar digərlərindən böyükdür. Son cümlənin bir qədər abstrakt səsləndiyindən xəbərdaram, amma bu fikrin riyazi təsvirini gördükdən sonra məsələ daha aydın olacaq, bəlkə də başqa suallara yol açacaq. İlk öncə, ‘saymaq’ dedikdə nəyin nəzərdə tutulduğunu izah edək. Saymaq üçün natural ədədlər çoxluğundan istifadə edirik.

N={1,2,3,4,5,6……}

Natural ədədlər çoxluğunu istinad kimi götürsək deyə bilərik ki, hər hansı bir sonsuzluğu natural ədədlər ilə birəbir qarşılaşdıra bilsək, bu sonsuzluğa sayıla bilən sonsuzluq,əks halda sayıla bilməyən sonsuzluq deyəcəyik. Məsələn, kainatda mövcud olan ulduzlar çoxluğunu sayılan bilən sonsuzluq¹ adlandırmaq olar. Çünki, kainatda ulduzları tapdıqca onları birəbir natural ədədlərlə göstərə bilərik. Nümunəyə baxaq.

1 → Günəş

2 → Alpha

3 → Vega

                                                                  .

.

.

  n → Epsilon

.

.

.

Deyək ki, kainatda indiyə qədər tapdığımız ulduzların sayı n-dir. Əgər yeni bir ulduz siyahıya daxil olarsa, n+1 ilə həmin ulduzu da saya bilərik və beləliklə sonsuz sayda ulduzu sonsuz sayda natural ədədlərlə yan-yana düzə bilərik. Natural ədədlər çoxluğu da sayıla bilən sonsuz çoxluqdur. Cantor fikirləşirdi ki, natural ədədlər çoxluğunun (və digər sayılan bilən sonsuz çoxluqlar) başqa qəribə xüsusiyyətləri də var. Məsələn, sayıla bilən sonsuz çoxluğun bəzi alt çoxluqları da eyni ölçüyə malik² sayıla bilən çoxluqlardır. İlk baxışdan bizə elə gəlir ki, natural ədədlər sonsuzluğunda cüt ədələrin sayı ümumi natural ədədlərin sayından təxmini iki dəfə az olmalıdır, lakin Cantor bunun əksini isbat edir. Necə?

Cüt ədədləri sayaq:

1 →2

2 → 4

3 → 6

.

.

.

n → 2n

.

.

.

Burada cüt ədədləri yuxarıda dediyimiz kimi, natural ədədlərlə birəbir düzüb onları sayırıq. Bir halda ki, istənilən xalis (ing. unique) n üçün onun ikiyə hasili də xalis bir natural ədədə bərabərdir, o zaman cüt ədədlər çoxluğu da sayıla bilən sonsuz çoxluqdur və onun ölçüsü elə natural ədədlər sonsuzluğunun ölçüsünə bərabərdir.³

Sayıla bilən sonsuz çoxluqların digər qəribəliyi odur ki, iki sayıla bilən sonsuz çoxluğun birləşməsindən yaranan sonsuz çoxluq da sayıla bilən sonsuz çoxluqdur. Hissələrin ölçüləri onlar birləşəndən sonra yaranan bütövün ölçüsü ilə eynidir və tərsinə olaraq,bütövün ölçüsü onu əmələ gətirən hissələrin ölçüləri ilə eynidir. Nümunəyə baxaq. Natural ədədlər çoxluğu ilə tam mənfi ədədlər çoxluğunu birləşdirək simmetriya üçün sifirı da əlavə edək. Yuxarıda natural ədədlər çoxluğunu N hərfi ilə işarə etdik. Tam mənfi ədələr çoxluğunu da Z hərfi ilə işarə edək:

Z⁻={−1,−2,−3,−4,−5,−6,−7,…}

Nəticədə bu hissələrin birləşməsindən yaranan çoxluğa baxaq:

{…..,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,……}

Nöqtələr hər iki tərəfdən sonsuzluğu işarə edir. Aldığımız bu çoxluğun üzvlərini saymağa çalışaq.

1→0

2 →−1

3→1

4 →−2

5→2

6 →-3

7→3

.

.

.

Bu sıralamadakı qanunauyğunluq isə belədir: Çoxluğun n-ci üzvü  əgər n cütdürsə (n-1)/2-yə, əgər təkdirsə -n/2 yə bərabərdir. Qanunauyğunluqdan göründüyü kimi birləşmədən aldığımız bu sonsuz çoxluğu natural ədədlərlə birəbir düzə bilirik, yəni, saya bilirik və deməli bu çoxluğun ölçüsü elə natural ədədlər sonsuzluğunun ölçüsü ilə eynidir.

Elə bir sonsuz çoxluq varmi ki, onu natural ədədlərə birəbir düzə bilməyək, başqa sözlə, saya bilməyək? Daha intuitiv səslənməsi üçün belə bir nümunə deyək. Fərz edin ki, sonsuz sayda rəfiniz var. Aydındır ki, sonsuz rəf çoxluğu sayıla bilən sonsuzluqdur və sizə elə bir sonsuz çoxluq verirlər ki, siz o çoxluğun hər bir elementini bu rəflərə doldurmalısınız. Suala yenidən qayıdaq: elə bir çoxluq verilə bilərmi ki, siz nə qədər çalışsanız belə, bu çoxluğun üzvlərini sonsuz sayda rəflərinizə yerləşdirə bilməyəsiniz? Belə bir çoxluq var. Onlardan biri həqiqi ədədlər çoxluğudur. Həqiqi ədədlər çoxluğuna natural ədədlər, sıfır, mənfi tam ədədlər (−1,−2,−3,…), kəsrlər (0.25, 5/6, …) və ən maraqlısı, irrasional ədədlər, məsələn, √2 və hamımıza tanış olan π ədədi⁴ və s. aiddir. 2014-cü ildə 180 saatlıq kompüter əməliyyatı nəticəsində π ədədinin vergüldən sonrakı 13 300 000 000 000 rəqəmi hesablanıb. Bu ədədi oxuya bilirsinizsə deməli yavaşlamaq lazımdır.

George Cantor aşağıda göstərəcəyim diaqonal metodu ilə həqiqi ədədlərin sayıla bilməyən çoxluq olduğunu göstərir. İsbat haqda danışmazdan əvvəl onun forması haqda danışaq. İlk öncə fərz edək ki, həqiqi ədədləri saymaq mümkündür və isbatın sonunda bu fərziyyə paradoksa gətirib çıxarsa, o zaman onun yanlış olduğu nəticəsinə gələk. Buna riyaziyyatda əksini fərz etməklə isbat deyirlər.

İlk öncə cədvəl-1 də həqiqi ədədləri təsvir edək.

Fərz edək ki, həqiqi ədədlər sonsuzluğunu saya bilərik, başqa sözlə, sonsuz sayda rəflərimizə yığa bilərik. Məsələni sadələşdirmək üçün yalnız 0 və 1 arasında olan həqiqi ədədləri bu rəflərə doldurmağa çalışaq, bunu edə bilməsək, deməli həqiqi ədədləri də saya bilmərik. Cədvəl 2-də nəzəri hala nəzər salaq. Bu cədvəl bizə isbat üçün yararlı olmayacağına görə, daha ümumi təsvirə ehtiyacımız var. Cədvəl 3-də daha ümumi təsvirlə tanış olaq. Üç nöqtə ədədin sonsuza qədər uzandığını göstərir və bu cədvəl yalnız o zaman mümkündür ki, həqiqi ədədləri natural ədədlərə birəbir düzə bilək, yəni, saya bilək.

Cantor göstərir ki, belə bir düzülüş mümkün deyil, çünki elə bir həqiqi ədəd mövcuddur ki, o rəflərimizdə olmasın. Bu həqiqi ədədi isə diaqonal metodu ilə düzəldirik. Rəflərimizdən kənarda qalmış (sonsuz rəfimiz olsa belə) bu həqiqi ədədi m hərfi ilə işarə etsək, bu ədədi belə inşa etmək olar:

m = 0.(d11+1)(d22+1)(d33+1)(d44+1)(d55+1)(d66+1)…(dnn+1)…

Başqa sözlə, cədvəldə diaqonal şəkildə aşağı doğru gedərək, hər qarşımıza çıxan rəqəmə bir artırıb, bu m ədədinin onluq kəsrinə (nöqtədən sonraya) əlavə edək. Sonsuz rəflərimizin 0 və 1 arasındakı bütün həqiqi ədədləri özlərində saxladığını deyiriksə, o zaman bu m ədədi də hansısa bir rəfdə olmalıdır. İndi isə göstərəcəyik ki, bu ədəd heç bir rəfdə yoxdur, gəlin bir yerdə axtaraq. Bu ədəd birinci rəfdə ola bilməz, çünki birinci rəfdə olan həqiqi ədədin onluq hissəsindəki birinci rəqəm d11-dir, lakin m ədədində bu (d11+1)-dir. Bu ədəd ikinci rəfdə də ola bilməz çünki ikinci rəfdəki həqiqi ədədin onluq hissəsindəki ikinci ədəd d22-dir, lakin m ədədinin onluq hissəsinin ikinci rəqəmi (d22+1) və.s beləliklə bütün rəflərə baxsaq, görərik ki, eyni səbəbə görə, m ədədi orada deyil. Fərziyyəmiz o idi ki, 0 və 1 arasındakı bütün həqiqi ədədləri rəflərə yerləşdirmişik, lakin son nəticə göstərdi ki, eləbir m həqiqi ədədi var ki, o rəflərdə deyil. Bu paradoksa görə, fərziyyəmizin yalnış olduğu nəticəsinə gəlirik. Yəni, həqiqi ədədləri saya bilmirik. həqiqi ədədlər sonsuzluğu sayıla bilməyən sonsuzluqdur.

Eyni diaqonal metodunu istifadə edərək göstərə bilərik ki, bu m ədədini yeni bir rəfə əlavə etsək, yenə, yeni bir m ədədi var ki, o rəflərimizdə yoxdur; bu sonsuza qədər davam edəcək. Nə qədər calışsaq da, sonsuz həqiqi ədəd çoxluğunu sonsuz sayda rəflərə yerləşdirə bilmirik.

Deməli, həqiqi ədədlər sonsuzluğunun ölçüsünün təbiəti hələ də qeyri-müəyyən qalsa da, bu ölçü sayıla bilən sonsuzluqların qeyri-müəyyən ölçüsündən böyükdür…

Qeydlər

1. Kainatda sonsuz sayda ulduz olduğunu iddia etmək fikrim yoxdur, lakin bu nümunə üçün fərz edək ki, biz kiçik insanlar üçün, ulduzların sayı sonsuzdur.
2. Bütün sayıla bilən sonsuz çoxluqları natural ədədlər sonsuzluğu ilə göstərmək olduğu üçün bütün sayıla  bilən sonsuz çoxluqların ölçüləri də eynidir.
3. Cantor bu fikrin isbatını belə hərdəmxəyal şəkildə etməyib. Burada sadəcə orijinalda riyazi induksiya metodu ilə isbat olunan söhbəti sadə dildə göstərdim.
4. =3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235… (ilk 700 rəqəmi; burada nöqtələr onluq hissənin sonsuz olduğunu göstərir).

---

Foto: İranın Şiraz şəhərində Hafiz Şirazinin Məqbərəsindəki 16, 10 və 8 guşəli ulduzlardan ibarət mürəkkəb girih naxışları. (Mənbə: Wikipedia)